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物理无神圣：惯性系变换下能量守恒？
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记得以前我跟人在网上讨论，提到过物理无神圣（No theory is sacred in Physics）。一方面这是在针对已经确认的基本规律，另一方面也是指不能死记硬背、教条地套用一些看似放之四海而皆准的“真理”。以能量守恒为例，在经典力学里这是运动方程推导出来的结果：从动力学方程我们发现某个标量是不随时间变化的，称之为能量。
这个能量（包括动能、势能）概念在牛顿后100多年才出现，但能量守恒概念似乎被奉为圣经。
最近两天在科学网看到一个问题：一个理想的弹簧振子固定于墙上，来回振动，从室内人看，其机械能守恒；从一匀速运动火车上看，弹簧振子能量是否守恒。
这是一道中学物理题。据说是北大物理系赵凯华（我上学时的系主任）写的某本中学物理书上的。答案是“能量不守恒”。原因是，从火车上看，弹簧固定点在移动，而且固定点有作用力，因此外力对弹簧振子系统做功不为零。
这个答案引发了广泛的反对意见，因为它似乎打破了某些人对能量守恒与惯性系变换的定式思维：一个惯性系下机械能守恒，另一个惯性系下机械能也应该守恒。加上弹簧振子势能是什么又引发一系列争论，什么正弦函数，问题越讲似乎越糊涂。其实类似问题在我那个石头砸到车的问题中已经出现了。为此，我举一个更简单的例子说明这个问题。下图中，一个质量为 m 的小球从一个光滑的碗上部滑下（初始速度为0），摩擦损耗为零；机械能守恒，在顶上势能为[ix]mgh[/ix], 到碗底速度为 [ix]\sqrt{2gh}[/ix]，方向水平（为了下面讨论起见， 碗固定在M上，M又固定在地面，但目前不需要考虑）。
现在从一个以速度 V 匀速运动的观察者来看上面的现象：
（1）开始：势能 mgh, 动能 1/2 mV^2, 总能量 E0 = mgh + 1/2mV^2;
(2) 碗底：势能０，动能 １/２ｍ（ｖ＋Ｖ）＾２ ＝ 1/2 mv^2 + 1/2mV^2 + m v*V = mgh + 1/2mV^2 + m v*V = E0 + m v*V
因此从匀速运动的观察者看，小球到碗底时，系统总能量增加了 m v*V （其中的* 表示点乘），也就是说系统的总能量是不守恒的。这个大家没有异议吧？
为什么会这样？在运动观察者看来，碗的支撑力对小球在水平方向做功了。
注意到 mv 是物体动量的变化 [ix] \Delta P[/ix]（这是伽利略不变的），我们有
[ix]\Delta E = V \cdot mv = V \cdot \Delta P[/ix]
我在《外力做功的伽利略变换》一文中给出了做功的伽利略变换公式：[ix]W^\prime = W + V \cdot \Delta P[/ix]。在静止参照系，碗对小球做功为0， 也就是说W=0，但碗的作用力导致小球动量变化为 mv，那么在运动参照系，碗对小球做的功是 V * mv 。除非 V与 v 垂直，这个碗对球的做功不为零。
喜欢动脑筋的同学们立刻会说，既然碗对球做功了，那么球的反作用力必然对碗做了相同的负功。这怎么回事？问题恰恰在于此，因为碗被固定，这个系统的动量是不守恒的。
在上图中，如果下面那个座子 M可以自由滑动（假设M与地面无摩擦），那么 m,M 构成的系统动量守衡，M的动量变化等于 m 的动量变化的负值，因此球对 碗+M做功为 -V * mv。考虑 m+碗+M 系统，总能量是守恒的。注意，M可以是整个地球的质量。有兴趣的，可以具体在 静止参照系计算 m 与 M的速度，然后变换到到运动参照系，会发现总机械能是守恒的（注一）。
弹簧振子的问题很容易看出其总机械能在惯性系变换下是不守恒的：考虑物体在平衡点的情况，此时弹簧弹性势能为0，物体 m 速度为 v 或者 -v ，在运动参照系下 系统能量为 1/2 m (v+V)^2 或者 1/2 m (-v +V )^2，两个情况相差 2mv * V。
为什么在伽利略变换下，一个能量守恒的系统，能量不再守恒？
从我们上面的分析看出，这是因为系统没有平移不变性，也就没有动量守恒。
注一： 考虑M可以滑动，m 滑到碗底速度为v, M 速度为 u。在静止参照系，
mv + Mu =0
mgh = 1/2 mv^2+ 1/2 M u^2
解出，
换到速度为V的参照系，伽利略变换
系统总能量
代入上面的u,v， 得出
E= mgh + 1/2(m+M) V^2
由此可见，当M极大，以M作为参照系能量近似守恒 （误差为 m/M 量级），但一旦进行参照系变换，能量就不守恒了，因为M 并非真正的惯性系。
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