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石头砸到汽车的中学计算
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下面这道趣题没有人解答，看来大家从小到大考伤了
。车主想做个物理实验，但 f =ma 没学好。所以，理论还是有用啊。力学这东西，还在300多年前被牛顿一个 f=ma 全部搞定。大家要记住，凡是涉及机械运动的事情，都是可以用 f=ma 算的。懂力学的，不跟你瞎掰，装，而是实打实，算。即使没有解析解，也得数值计算。
。车主想做个物理实验，但 f =ma 没学好。所以，理论还是有用啊。力学这东西，还在300多年前被牛顿一个 f=ma 全部搞定。大家要记住，凡是涉及机械运动的事情，都是可以用 f=ma 算的。懂力学的，不跟你瞎掰，装，而是实打实，算。即使没有解析解，也得数值计算。我来解答下，不要当标准答案啊。
设汽车启动后迅速达到匀速运动状态。已知汽车牵引处高度为h, 绳子长度为L，重力加速度为 g, 忽略石头、地面摩擦力（也就不考虑石头开始被卡住的情况），假定绳子为理想绳（无机械能损耗）。
问: 石头会不会砸到车？ （原题问是否砸到玻璃，但那么式子过于繁琐，我们简单点，看能否砸到车算了）。
解答：设绳子拉到最长时与地面夹角为 [ix]\theta[/ix]。根据题中的已知 [ix]\theta = \sin^{-1} (h/L)[/ix]。解答这个题显然以匀速运动的汽车为参照最为方便，否则还得考虑车也在动。这个参照的选择不改变动力学，不是源自牛顿，而是更早的伽利略。学科学知道些历史有好处。
显然，以车为参照，石头飞起速度
[ix]v_{\perp} = v \sin\theta, v_{\parallel} = v \cos\theta [/ix]
（为什么？？？ 式子写出来，大家思考，想明白了，剩下的就容易了，模拟高考就能上二本了）。
水平分量
[ix]v_x = v_{\perp}\sin\theta - v_{\parallel} \cos\theta = v (\sin^2\theta-\cos^2\theta) = - v \cos(2\theta)[/ix]
垂直分量
[ix]v_y = v_{\perp}\cos\theta + v_{\parallel} \sin\theta = 2 v \sin\theta \cos^2\theta = v \sin(2\theta)[/ix]
可见，石头是以速度 v （相对车来说）, 角度 [ix]2\theta[/ix] 飞向汽车 （注一）。这个结果我感到神奇。确实，视频中石头是以超过绳子斜角的角度飞起。何也？现在我们算出来了，飞起角是绳子角度的两倍。这个2倍角是普适的。我们可以拿一个特殊情况验证下：绳子是垂直下垂的，也就是角度为90度，从地面看，汽车开动，石头不动（因为绳子垂直、瞬间无水平力），但从汽车角度看，石头是往后跑 （180度）。再想想，其实这相当于弹性反射嘛 -- 反射角等于入射角，绳子是入射的法线。
剩下的事情简单了，我们只需要计算石头相对于车的飞行距离。
[ix]D = v_x T = v_x \frac{2v_y}{g} = v\sin(2\theta) 2 v \cos(2\theta)/g = \frac{v^2\sin(4\theta)}{g} =\frac{v^2}{g} \sin(4 \sin^{-1} (h/L)) [/ix]
可见，绳子与地面角度为 90/4 = 22.5 度石头飞得最远。
石头砸到车子需要 [ix]D > L \cos\theta[/ix]。慢慢解。
但我们可以粗略看看，如果车速十米/秒，那么石头最大追击距离也在几米的量级，要躲过石头绳子不能太短。当然，慢慢开也好。
注一：从地面观察者角度，车速为 -v, 石头的水平速度为
[ix]v_x^{e} = -v + v_x = - v (1+ \cos(2\theta)) [/ix]
发表评论 评论 (10 个评论)
- 回复 yuanyuan88
- 沙发！这个笨蛋，拿车子开玩笑。
数学都忘了。
- 回复 wx1wx2
- 弹簧压缩可储能，拉伸也会储能的。
岳东晓: 题中是理想的弹性绳 -- 现实中也许尼龙绳接近。绳子跟弹簧不同，弹簧可以压缩，绳子不能。
理想的弹性绳，也许相当于橡皮筋做的绳子，弹性特别大？
在这个题目中，如果绳子没有弹性，它飞向汽车的水平速度不会高于汽车速度吧(喜塔余弦值不可能大于1)。至于垂直方向，即使用橡皮筋，向上飞的高度也不会超过车后那个拴绳点啊(除非穿透车身)。
也就是说，除非以橡皮筋或弹簧之类先储存能量、后突然释放，否则石头砸不着车。
如果正确答案是砸着车，那得给出”理想弹性绳”的参数才好计算哟。
个人认为，现实中的尼龙绳弹性不大，储能的能力不大，用以拉石头，不会砸着车。
- 回复 岳东晓
- 理想绳就是假定没有机械能损失，石头反弹速度等于原有速度。如果不是完全弹性的绳子，那么反弹速度小于原速度，相当于在上面的计算中的 V// 需要乘上一个小于一的因子，石头仍然可能追上汽车。上面计算中的水平速度是以汽车为参照，是相对于汽车的速度，在这个参照系汽车是静止的（汽车速度为零）。要计算石头的地面速度，需要加上汽车速度。从地面看，石头飞起角度也是不同的。
wx1wx2: 弹簧压缩可储能，拉伸也会储能的。
理想的弹性绳，也许相当于橡皮筋做的绳子，弹性特别大？
在这个题目中，如果绳子没有弹性，它飞向汽车的水平速度不会高于汽车 ...
我计算中只是考虑石头飞起后，以自由抛物体进行运动，如果速度太大，当然会发生石头飞出后再次被绳子扯住的情况。但是题目只是问石头砸到车需要的最小车速。绳子飞起后飞太远又被扯住的情况不需要考虑。
至于你说的绳子先被卡住，导致绳子拉伸，然后能量释放，导致石头飞起，这不是题目假想的情况。我想，很多人看了这个视频都会认为绳子必须先被卡住拉伸、然后弹出才会如此。我这个题目就是要说明导致石头砸到车并不需要绳子被卡住，即使石头与地面完全没有摩擦力，也没有被卡住，只要汽车速度足够大，石头还是会砸到汽车。更为直观的解释 参见 http://www.zzwave.com/home.php?mod=space&uid=2&do=blog&id=32908
- 回复 wx1wx2
- 希望有机会做个试验.为了活跃气氛，不妨打个赌。如果我输，甘愿输一辆汽车。如果我赢，别说我以老欺幼啊？
岳东晓: 理想绳就是假定没有机械能损失，石头反弹速度等于原有速度。如果不是完全弹性的绳子，那么反弹速度小于原速度，相当于在上面的计算中的 V// 需要乘上一个小于一 ...
- 回复 岳东晓
- 你如果看不懂我的解释，可以思考。打赌也可以，不过经典力学问题属于已经完全解决的科学，我赢了岂不是胜之不武？你实验如果赢了，我赔你一辆新车。你若输了，不要付任何代价 -- 除了自己车损坏之外。
wx1wx2: 希望有机会做个试验.为了活跃气氛，不妨打个赌。如果我输，甘愿输一辆汽车。如果我赢，别说我以老欺幼啊？
