科学网有读者提问:【请教一个量子力学基本概念问题。、在经典力学中,力学 (kinetic, mechanical) 动量是直接可测物理量,而正则动量是导出量,一般不能直接测量,例如电子在电磁场中的正则动量。量子力学有个基本假定,每个可观测物理量对应于一个力学 算符,它有完备的本征函数系。量子力学中动量算符是指 正则动量 算符,然而电子在电磁场中的 正则动量 不是可观测物理量。这和量子力学基本假定矛盾吗?俺知道 电子在电磁场中的正则动量算符法为 Aharonov-Bohm effect 实验支持。Y. Aharonov and D. Bohm,Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory, Phys. Rev. 115, 485-491 (1959)。】
这个问题看似简单,其实很深刻,我先这里试图回答如下,再补充。
先对相关物理问题做一个简单的回顾,根据经典物理,电荷在电磁场的拉格朗日量为
[tx]L = \frac{1}{2} m v^2 - q\phi + q v_{i} A_{i} [/tx], i = 1,2,3
因此,正则动量为 [ix]P_{i} = \frac{\partial L}{\partial v_i} = mv_{i} + q A_{i}[/ix],哈密顿量为
[tx]H = P_{i} v_{i} - L = \frac{1}{2} m v^2 + q\phi = \frac{(P_i -qA_i) (P_i - qA_i)}{2m} + q \phi[/tx]
量子化: [ix][x_i, P_i] = i[/ix],
因此, [ix]P_i = - i \frac{\partial}{\partial x_i}[/ix],
哈密顿量因此为
[ix]H = \frac{(-i\partial/\partial x_i - qA_i) (-i\partial/\partial x_i - qA_i)}{2m} + q\phi[/ix]
速度算符为, [ix]V_i = i [H, x_i] = i \frac{2}{2m} (P_i-qA_i) [ P_i, x_i] = \frac{P_i -qA_i}{m}[/ix]
可见, 粒子的机械动量 p 就是 [ix]P_i-qA_i[/ix],等于正则动量 [ix]P_i[/ix] 减去 [ix]qA_i[/ix], 换言之,正则动量等于 机械动量加上 qA 。这与经典物理当然是一致的。
现在有个问题, 向量场 A 不是唯一的,而是可进行所谓规范变换,增加一个标量的梯度 , [ix]A^{\prime } _i= A_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \Lambda (x)[/ix],而完全不改变物理(包括粒子的机械动量)。 因此,正则动量是随规范选择而变的,并非唯一,比如说,你可以选择某种规范,给正则动量增加一个常数。
现在我们回到读者的问题,【量子力学中动量算符是指 正则动量 算符,然而电子在电磁场中的 正则动量 不是可观测物理量。这和量子力学基本假定矛盾吗?】
我的回答是: 可观测量对应于一个 Hermitian 算符,但反过来并不成立,并不是任意一个 Hermitian 算符 都会对应于一个可观测物理量。
以一个一维的势井内的动量算符 [ix]p = -i \frac{\partial}{\partial x}[/ix]为例,在零边界条件下,它是个Hermitian 算符,但不是 self-adjoint ,没有本征态。