日志
野鸡通天塔问题 -- 新语丝评估（2）
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在《野鸡通天塔问题 -- 新语丝评估（1）》，就通天塔内墙是否能刷漆的问题给出了否定的正确答案。但据称，JFF在新语丝提出了油漆厚度可以变化的说法。他的原文我找不到，但让我根据这个说法分析一下。设第N层油漆厚度为 D(n)， 则油漆体积为
[ix]V = 4 \sum\limits_{n=1}^N (\frac{ 1}{n} - D(n) ) D(n)[/ix]
只要令 [ix]D(n) < \frac{1}{2n}[/ix] 即可使全部内墙可以刷到，而且油漆体积有限。
但是，如果油漆厚度可以变化并且可以趋于无穷小，那么有限(但不为0）的油漆可以刷无穷大的二维平面。比如说，设 油漆厚度为 [ix]e^ {-(x^2+y^2)}[/ix]，那么要给整个x-y 平面刷漆需要的体积是一个高斯积分
[ix]V= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^ {-(x^2+y^2)} dx dy = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr = \pi[/ix]
有限油漆可以刷无穷大平面 (N^2 面积)，那么原来的问题 (ln N 面积) 有什么奇怪呢？
