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让子弹飞 --- 鹦鹉学舌的无趣
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对于互联网上流传的故事，都跟着鹦鹉学舌就没有多少意思了。”淋雨是最聪明最美妙的解答”这正是水滴下落速度寓言作者传递的信息，也是微信上众人一致赞同的标准答案。同理，薄熙来鞋子问题，报纸上登的标准答案是名牌球鞋，别人猜耐克，你说像是 Adidas，显得自己还fashionable知道各球鞋牌子，也是无趣得很，一点创造力、想象力都没有。连互联网趣事还去放狗找标准答案，而不是独立思考，这是中国填鸭式教育的结果。
从淋雨寓言看，它试图传递两个信息（1）博士们不知道雨是水滴从高处下落，不能联想，非博倒更聪明；（2）计算水滴下落速度缺乏意义。（1）倒是有可能，有的人书越读越蠢，狗都知道自觉伸出舌头蒸发散热，iMan + 翰山等号称理工科的却死活不明白池水蒸发降温。（2）就是不动脑子、缺乏逻辑了：雨固然是水滴，水滴却不一定是雨点，题目的水滴并没有给出大小，可能是半桶水那么多，也没有给出地点，也许是嫦娥登月工程要计算月球上的事情呢（注一），这些就没有淋雨经验借鉴了。
不过有个问题，毕竟人从高处掉下来的机会是很少的，真正掉下来的，知道自己下落多快也没有太多意义了。我在文中提到另外一些应用，例如计算汽车、飞机的最大速度等等。这里，我来解决一个简单的问题，子弹的有效射程。当年鸦片战争英国洋枪打到中国时牛顿力学已经有100多年历史，中国虽然早就造出了火药，但缺乏数学化理论指导，结果，中国土炮不敌英国洋枪。落后就要挨打，愚昧就被欺压。这是历史教训。
在前面我从 F=ma 推出，一个物体在空气中以 速度 v 运动，其受到的阻力 f_a 是
[ix]f_a = d_a A v^2 (1-\cos\theta)[/ix]
其中 [ix]d_a[/ix] 是空气密度，A 为物体横截面积，v 为物体速度，[ix]\theta[/ix] 是物体导致空气的方向偏转角，这个角度与物体形状有关。[ix]f_a[/ix]方向与物体运动方向相反。
子弹的射程问题高一物理都是学了的，是牛顿定律的简单应用。但高一课本上讲的是没有空气阻力的理想情况，子弹在水平方向速度恒定，而在垂直方向做自由落体运动，相关计算不记得的可以去翻高一物理课本。现在我们需要进一步，考虑实际的存在空气阻力的情况。
设子弹质量为m, 速度方向 与水平方向 x 夹角为 [ix]\phi[/ix]，我们列出垂直与水平方向的 f=ma 方程
[ix]ma_x = f_a \cos\phi = -d_aA v^2 (1-\cos\theta) \cos\phi = -d_aA (1-\cos\theta) v v_x[/ix]
[ix]ma_y = -mg - d_aA v^2 (1-\cos\theta) \sin \phi = -mg - d_aA (1-\cos\theta) v v_y[/ix]
这组方程一看是非线性的， 我们看能否加以简化。 为此，我们计算一下垂直方向空气阻力并与子弹重量进行比较。我们得出 [ix]d_a A = \frac{pi}{4} * 1.25* (5.7 * 10^{-3})^2 = 3.65 \times 10^{-5}[/ix]。代入M16 步枪5.56 mm 弹药的数据， 出膛速度 v = 940 m/s。假设目标距离为 200米，子弹初始速度水平，[ix]\theta[/ix]约为15 度，那么1/5 秒后，空气阻力的垂直分量约为 [ix]2.2 *10^{-3}[/ix] ，千分之二 (牛顿）。而子弹的质量量为 4.1克，也就是百分之四牛顿。因此，计算水平弹道时，一般距离内，可以忽略空气阻力对弹道的影响。 So far so good.
在这一近似下，我们可以解出水平速度与时间 t 的关系，经过简单的计算，我们得出
[ix]v_x = \frac{v_0}{\frac{d_a A (1-\cos\theta) }{m} t +1}[/ix]
但从上面的分析计算可以看出，如果初始速度与水平角度大，那么即使在200米这样的距离，空气阻力对弹道的影响将不可忽略。如果从高处射击地处，那么由于空气阻力的作用是向上托起子弹，因此瞄准时可能需要低一点。更加具体的计算虽然可能比较繁复，但方程就在上面，留给大家做练习了。
不过，上面的分析有一个严重问题。由于子弹速度超过声速。。。。
注一：比如说一艘开始降落的登月飞船漏水，水滴直朝月球表面飞去，如果打中月球表面的宇航员防护罩。。。。
